Inför KS1 i Mekanik

Plugglogg inför kontrollskrivning 1 i mekanik:

Newtons 3 lagar:
- En fri partikel rör sig med konstant hastighet
- F = ma
- Krafter uppstår i motriktade par vars kraftsumma är noll

Eulers 3 lagar för kroppar i vila:
- F = 0
- M = 0
- Newtons 3:e lag

De tre fysikaliska storheterna är läge (längd), tid och massa. Andra "falska" storheter kan beskrivas med dessa dimensioner, till exempel har kraft dimensionen massa * längd / tid ^2.

En vektorstorhet kan delas upp i komponenter, till exempel kan en kraft delas upp i x-, y- och z-komponenter. En sådan komponent är i så fall en kraft. Man kan också dela upp en vektorstorhet i komposanter (delvektorer) och skalärer. Vänsterled är en komponent och högerled i komposantform: Fx = axex


Moment definieras som:
MO=rOA x F
Momentet i punkt o (MO) är lika med vektorprodukten av vektorn från punkt o [s.k. momentpunkten] till kraftens angreppspunkt (rOA) och kraften (F). Detta är alltså endast momentet som orsakas av denna kraft.

Momentet beskriver den vridande förmågan kring en punkt. Vill man ha den vridande förmågan kring någon axel kan man projicera momentvektorn på den axeln. Låt e vara enhetsvektorn i axelns riktning. Det sökta momentet blir då M*e.

Man kan flytta om krafter, dvs flytta angreppspunkten, utan att ändra på resultatet av kraftverkan på kroppen, om man ser till att det totala momente på kroppen är detsamma. Detta kan göras med hjälpa av att lägga ttill kraftparmoment. Krafterna kan summeras för att få fram en total kraft. Resultatet kallas reduktionsresultat.

För två ekvimomenta kraftsystem ska 1: summan av alla krafter vara lika stor i båda systemen och 2: momenten vara lika, med avseende på någon punkt.

Sambandsformeln lyder: MA = MB + rAB x F
Där momentet i A är summan av ([vektorer från momentpunkt A till angreppspunkt] x [alla motsvarande krafter]) och likadant för momentet i b. F är systemets kraftsumma.

Ett partikelsystems masscentrum är ett läge och kan alltså beskrivas med en vektor. Det görs så här:
rG = [Summa från k = 1 till n(mkrk)]/m
där rk är partikel k's läge och mk dess massa samt m alla partiklars sammanlagda massa.

En kropps masscentrum kan beräknas med en liknande formel, men en integral istället för en summa.


En sammansatt kropp kan ses som ett partikelsystem där varje delkropps masscentrum ses som en partikel.

För att jämvikt skall uppstå måste jämviktsvillkoren vara uppfyllda (Eulers 1:a och 2:a), men det är ett nödvändigt villkor och ingen garanti för jämvikt. I 2D är dessa villkor tre stycken (rörelse i två riktningar och rotation i ett plan) och i 3D sex stycken (rörelse i tre riktningar och rotation i tre plan).

Algebra och geometri

Detta är en av de tre tunga matematikkurserna i ettan, som ofta orsakar omtentor. Vad vi talar om är vektor- och matrisalgebra. Kan man inget om detta så betyder väl inte determinant, egenvektor, kryssprodukt, kofaktorutveckling eller Gauss-elimination så mycket, men det är sådana fina ord man lär sig! Kurslitteraturen (inte samma utgåva, men nära nog) var rätt så bra, om man inte har något emot att läsa engelska.

Som de flesta kurser var upplägget föreläsningar - lektioner - övningar. Man får också räkna med ett antal timmar hemma varje vecka. Annars var det inga konstigheter, bara att sitta och räkna.

Vektorerna kommer tillbaka sen om man vill läsa mekanik. Men man kommer hur som helst behöva lite av kunskapen i detta ämne i nummen och flervarren.

Matematisk statistik

Eller "Statten" i teknologmun. Denna kurs börjar lite mjukt med snitt och unioner av händelser, vilket egentligen är mer av matematik än statistik, men fortsätter sedan raskt till väntevärden och stokastiska variabler och punktskattningar och varians och sannolikhetsfördelningar. Bland de svårare delarna av kursen hör konfidensintervall och hypotesprövning. Det här är ett ämne som blir svårt när de konkreta exemplen slutar, men annars kan vara rätt intressant. Ingen svårare matematik används i denna kurs, bara lite summor och kanske några enkla integraler, men däremot metoder i flera steg som kan vara svårgreppbara. Det gäller att ha stenkoll på vad de olika begreppen egentligen står för. Men följer man med på föreläsningar och lektioner och gör de uppgifter som rekommenderas så brukar man hänga med, trots kurslitteraturens dåliga layout.

Numeriska metoder

I kursen Numeriska metoder, "Nummen", lär man sig om numeriska metoder. Det handlar mycket om hur man genom att upprepa beräkningssteg kan hitta extrempunkter, lösa differentialekvationer, hitta skärningspunkter, lösa integraler, passa in kurvor genom punkter och så vidare. I praktiken innebär det att man sitter framför en dator i timmar med svårbegripliga matematiska problem och försöker göra ett program i Matlab som löser problemen. Det finns assistenter i datorsalarna under de schemalagda tiderna, men de har sällan nog med tid för att kunna sätta sig in i uppgifterna. Det här är en kurs som kombinerar det värsta inom matematik och programmering.

Man arbetar i grupper om två, så välj en bra labbpartner. Är ni redan vänner, försäkra er om att er vänskap håller för denna påfrestning. Å andra sidan kan motgångarna som Nummen innebär också föra människor närmare varandra.

För att visa hur roligt detta är så har jag här en lösning på ett av de första problemen vi fick. Jag har dock tappat bort själva problemet.
------------------------------------------------------------------------

clear all, clc
% Systemmatrisen blir:
A = [2 1 2; 1 2 -1; 2 -1 -2; 1 -2 1];
b = [3 1 -1 -3]';
% '\' löser automatiskt med minstakvadratmetoden för överbestämda system
u = A\b
% Insättning för att se hur väl systemet satisfieras:
c = A*u;
% Om residualvektorn är liten är det bra satisfiering
resid = b-c
% Residualvektorn skall vara ortogonal mot kolumnvektorer i A, d.v.s:
zerovector = resid'*A
% Är denna vektor ej exakt noll kan de bero på datorns avrundningsfel

------------------------------------------------------------------------

Programmeringsdelen är inte så svår eftersom man redan har läst en introduktionskurs i Python-programmering i ettan. Den är snarare irriterande eftersom det innebär mycket feltestande och inläsning av en hel del programfunktioner.

Differentialekvationer

Det här är inte en kurs jag själv har gått. På min tid, 2009, hade vi istället kursen Trigonometri och funktioner. Det här är hursomhelst en av de fyra matematikkurserna man har i ettan. Antagligen har man bytt ut kursen jag gick mot denna för att de märkte att vi var så dåliga på differentialekvationer.

Differentialekvationer är ekvationer som innehåller en variabel och någon derivata av denna. Lösningen på en differentialekvation är inte ett tal, utan en ekvation. Det man bör ha koll på innan är väl främst derivator och integrering, men har du kunnat differentialekvationer innan skadar det inte att repetera. I den här kursen tror jag att man främst kommer hålla på med analytiska (exakta) lösningar. Lösningar med numeriska metoder kommer i tvåan.

Samhällsbyggnadsprocessen

Samhällsbyggnadsprocessen är en omfattande kurs, eftersom den är till för att visa vad programmet handlar om så att de som "kommit fel" ska inse det så snabbt som möjligt. Den innehåller juridik, hydrologi, ekologi, geologi, ekonomi, byggnadsteknik, materiallära, byggprocessprinciper och -system, arkitektur, stadsplanering och gud vet vad. Allt är rätt basic och det är inga svåra koncept att förstå, men det är ett kontinuerligt informationsmatande, samtidigt som man skriver uppsatser i grupp och håller i redovisningar och gör obligatoriska övningar. Mer djuplodande kurser om samma ämnen kommer i tvåan och trean, så man får fler chanser att lära sig ämnena.

Kursen är indelad i fyra ämnesområden: samhällsplanering, naturresurser, byggteknik samt ekonomi och filosofi.

Juridiken består främst av fastighetsjuridik och "plan- och byggjuridik". Kom ihåg att en fastighet i juridisk mening är ett markområde, inte en byggnad. Några exempel på vad juridiken berör:

• Hur kan man bilda och ändra på fastigheter?
• När får man ta mark i anspråk genom expropriation?
• Vad får man bygga var (byggnadslov, detaljplaner o.s.v.)?
• Hur går plangenomföranden till?

Hydrologin, geologin och ekologin smälter ihop lite och blir någon sorts kretsloppslära i naturresursdelen. Detta är inte så konstigt, eftersom de i allra högsta grad påverkar varandra. Här får man lära sig om miljögifter, global uppvärmning, dricksvattenresurser, malmer, jord... Har jag för mig. Men det är som sagt inte på så hög nivå.

Föreläsningar om byggprocesser minns jag som ganska flummiga. Det handlade mycket om att man kan påverka ett projekts utgång och kostnad mycket i tidiga skeden men nästan inte alls senare. Det är i stort sett det enda vettiga jag minns.

Materialläran och byggnadstekniken var däremot ytterst oflummig. Där var det raka puckar! Memorera detta:
Fasadbeklädnad, luftspalt, vindskyddsskiva, isolering, fuktspärr, eventuell OSB-skiva, gips. Minns också draghållfastheten för stål. Känner du igen en asfaltimpregnerad träfiberskiva? Vet du vad en Wood Wool Slab är och hur lättbetong tillverkas? Tvåtusen slumpmässiga fakta som nog ändå ses som allmänbildning i byggbranschen.

Ekonomin fann jag tråkig. Gör en nuvärdeberäkning. Jippie. Filosofin kändes som en inklämd (kanske t.o.m. påtvingad?) del av kursen. Den handlade dels om vilka risker man tillåter i byggande och hur man motiverar detta, men jag minns också teorier om hur man ska fördela välstånd. Nozick och Rawls.

Kurser

Här följer en lista på kurser, år 1 och 2. De kurser, där perioden inte är specificerad, sträcker sig över två perioder, alltså hela terminen. 

Termin 1:
Samhällsbyggnadsprocessen 15 hp
- Period 1
Differentialekvationer 6hp
Matematikprojekt I 1,5hp
- Period 2
Envariabelanalys 7,5 hp

Termin 2:
Fysik för den byggda miljön 9 hp
Programmeringsteknik med PBL 6 hp
- Period 3
Algebra och geometri 7,5 hp
- Period 4
Flervariabelanalys 7,5 hp

Termin 3:
Numeriska metoder 6 hp
- Period 5
Naturresursteori 6 hp
Geologi och geoteknik 6 hp
- Period 6
Matematisk statistik 6 hp
Plan-, bygg- och miljörätt 6 hp

Termin 4:
- Period 7
Samhällsekonomi 7,5 hp
Grafiska informationssystem 7,5 hp
- Period 8
Hus och anläggningar 7,5 hp
Mekanik/Ekonomisk geografi 7,5 hp